№ 20 (241), вып. 44 Сентябрь 2016 НАУЧНЫЙ РЕЦЕНЗИРУЕМЫЙ ЖУРНАЛ НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Белгородского государственного университета Математика. Физика Основан в 1995 г. Журнал входитв Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, в которых рекомендуется публикация основных результатов диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук Belgorod State University Scientific Bulletin Mathematics & Physics Учредитель: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Белгородский государственный национальный исследовательский университет» Издатель: НИУ «БелГУ» Ииздательский дом «Белгород» Адрес редакции, издателя, типографии: 308015 г. Белгород, ул. Победы, 85 Журнал зарегистрирован в Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) Свидетельство о регистрации средства массовой информации ПИ № ФС 77-63055 от 10 сентября 2015 г. Выходит 4 раза в год. РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ ЖУРНАЛА Главный редактор О.Н. Полухин, ректор НИУ «БелГУ», доктор политических наук, профессор Зам. главного редактора И.С. Константинов, проректор по научной и инновационной работе НИУ «БелГУ», доктор технических наук, профессор Научный редактор В.М. Московкин, профессор кафедры мировой экономики НИУ «БелГУ», доктор географических наук Ответственный секретарь: О.В. Шевченко, зам. начальника УНиИ НИУ «БелГУ», кандидат исторических наук РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ СЕРИИ ЖУРНАЛА Главный редактор серии А.В. Носков (доктор физико-математических наук, профессор НИУ «БелГУ») СОДЕ РЖАНИЕ М А Т Е М А Т И К А В.П. Архипов, А.В.Глушак Выродающиеся дифференциальные уравнения второго порядка. Асимптотические представления решений ......... И.В. Рахмелевич О решениях многомерного параболического уравнения второго порядка со степенными нелинейностями ............. В.М. Московкин Теорема Пифагора. Четыре новых доказательства ............ Г.В. Гаркавенко, Н.Б. Ускова, А.Р. Зголич Метод подобных операторов и спектральные свойства разностного оператора с четным потенциалом .................. И.И. Струкова Периодические на бесконечности функции ограниченной вариации ....................................................... А.Н. Шелковой Асимптотика собственных значений дифференциального оператора с нелокальными краевыми условиями .............. Н.Д. Бирюк, А.Ю. Кривцов Второй метод Ляпунова и его применение в анализе устойчивости параметрического контура ............................ Ф И З И К А С.В. Блажевич, А.В. Носков, А.С. Старовойтов Применение углового распределения дифрагированного переходного излучения в тонкой монокристаллической мишени для определения расходимости пучка релятивистских электронов .................................................. О.В. Дудка, А.А. Мазилов, Ю.А. Гордиенко Поверхностная самодиффузия вольфрама и молибдена, активированная низкоэнергетичным облучением атомами гелия ....................................................................... 5 23 34 42 50 60 69 77 86 Заместитель главного редактора Н.В. Малай (доктор физико-математических наук, профессор НИУ «БелГУ») Ответственный секретарь Р.А. Загороднюк (аспирант НИУ БелГУ) Члены редколлегии: С.В. Блажевич (доктор физико-математических наук, профессор НИУ «БелГУ») А.Н. Беляков (доктор физико-математических наук, профессор НИУ «БелГУ») И.П. Борисовский (кандидат физико-математических наук, доцент НИУ «БелГУ») А.Г. Брусенцев (доктор физико-математических наук, профессор БГТУ им. В.Г. Шухова) И.Е. Внуков (доктор физико-математических наук, профессор НИУ «БелГУ») А.В. Глушак (доктор физико-математических наук, профессор НИУ «БелГУ») Р. Кавалла (профессор, Технический университет, Фрайберг, Германия) В.В. Красильников (доктор физико-математических наук, профессор НИУ «БелГУ») А.П. Солдатов (доктор физико-математических наук, профессор НИУ «БелГУ») В.В. Сыщенко (доктор физико-математических наук, профессор НИУ «БелГУ») Статьи представлены в авторской редакции Выпускающий редактор Л.П. Котенко Художественный редактор А.Н. Оберемок Оригинал-макет А.В. Носков E-mail: noskov_a@bsu. edu. ru Подписано в печать 12.09.2016. Формат 60×84/8. Гарнитура Georgia, Impact. Усл. п. л. 22,8. Заказ 239. Цена свободная. Тираж 1000 экз. Дата выхода 30.09.2016. Подписной индекс в Объединенном каталоге «Пресса России» – 18078. Оригинал-макет подготовлен и тиражирован в Издательском доме «Белгород» Адрес: 308015 г. Белгород, ул. Победы, 85 А.С. Деев Регистрация излучений с энергиями до 1,33 МэВ детекторами малых размеров ............................................... Г.В. Аверин, А.В. Звягинцева О взаимосвязи статистической и информационной энтропии при описании состояний сложных систем ......... А.И. Картамышев, А.О. Боев, В.Н. Максименко, И.В. Неласов, В.Н. Савельев, А.Г. Липницкий Многочастичные потенциалы межатомных взаимодействий в системе Ti-V c учетом угловых взаимодействий для молекулярно-динамических расчетов .................................................................................. Д.О. Полетаев, Д.А. Аксенов, А.Г. Липницкий Первопринципное исследование влияния свободной энергии электронов и тепловых колебаний атомов на стабильность силицидов титана и растворимость кремния в ГПУ титане ............................................................ В.Н. Савельев, А.Г. Липницкий Новые многочастичные потенциалы межатомных взаимодействий для молекулярно-динамического моделирования вольфрама .................................................... М А Т Е М А Т И Ч Е С К А Я Ф И З И К А , М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Е М О Д Е Л И Р О В А Н И Е Т.С. Кумыков Моделирование возникновения фрактальных структур «Бабстонов» в атмосфере ...................................................... Н.Н. Ушакова Математическая модель процесса формирования космического изображения высокого и сверхвысокого разрешения в групировке космических аппаратов ............ Н.А. Чеканов, И.Н. Беляева, Н.Н. Чеканова Вычислительная схема решения некоторых задач из теории сопротивления материалов ................................. А.В. Субботин Классификация аналитических обратимых динамических систем ...................................................................................... Сведения об авторах ......................................................... 98 105 117 129 138 149 155 168 175 180  Белгородский государственный национальный исследовательский университет, 2016 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия Математика. Физика. 2016 № 20 (241). Выпуск 44 _________________________________________________________________ 98 УДК 539.1.074.5:620.179.152 РЕГИСТРАЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЙ С ЭНЕРГИЯМИ ДО 1,33 МэВ ДЕТЕКТОРАМИ МАЛЫХ РАЗМЕРОВ REGISTRATION OF THE RADIATION WITH ENERGIES UP TO 1.33 MeV BY THE DETECTORS OF SMALL SIZES А.С. Деев O.S. Deiev ННЦ «Харьковский физико-технический институт», ул. Академическая, 1, г. Харьков, 61108, Украина NSC “Kharkov Institute of Physics and Technology”, 1 Akademicheskaya St, Kharkov, 61108, Ukraine E-mail: deev@kipt.kharkov.ua Аннотация. Детектирующим модулем на основе неохлаждаемого кремниевого планарного детектора и детектирующим модулем типа «сцинтиллятор - кремниевый фотосенсор» измерены спектры гамма-излучения источников 241Am, 57Co, 137Cs, 133Ba, 22Na, 60Co. Спектры излучения для Si планарного детектора 5×5×0.3 мм3 со- держат пики полного поглощения для энергий γ-квантов до 662 кэВ. Экспериментально измеренная ширина пиков (FWHM) для энергий Eγ от 59.54 до 662 кэВ находится в диапазоне от 1.3 до 3.6 кэВ. Разрешение детекти- рующей системы на основе сцинтиллятора CsI(Tl) размером 2×2×2.4 мм3 для энергий от 59.54 до 1332.5 кэВ составило 22.8–86 кэВ. Resume. Spectra of gamma radiation of sources 241Am, 57Co, 137Cs, 133Ba, 22Na, 60Co were measured by the de- tecting module based on uncooled planar silicon detector and by the detecting module of the type "scintillator - silicon photo sensor". Spectra of radiation for planar Si detector 5×5×0.3 mm3 contain peaks of full absorption for γ-rays ener- gies up to 662 keV. The experimentally measured width of the peaks (FWHM) for energies Eγ from 59.54 keV to 662 keV is in the range from 1.3 to 3.6 keV. The resolution of the detecting system based on scintillator CsI(Tl) 2×2×2.4 mm3 for the energies from 59.54 keV to 1332.5 keV was 22.8–86 keV. Ключевые слова: кремниевые планарные детекторы, энергетическое разрешение детектора, источники гамма-излучения. Key words: silicon planar detectors, energy resolution of the detector, sources of gamma rays. Введение Изготовленные в ННЦ ХФТИ герметизированные модули неохлаждаемых планарных кремниевых детекторов толщиной 300 мкм и детектирующие системы типа сцинтиллятор CsI (Tl) – кремниевый PIN фотодиод, а также считывающая электроника показали высокую стабильность при использовании в экспериментах физики высоких энергий, ядерно-физических эксперимен- тах, в устройствах контроля концентрации элементов, в медицинских диагностических устрой- ствах [1-6]. Конструкция неохлаждаемого планарного Si детектора подробно описана в [2]. Экспе- риментально детально изучены особенности регистрации гамма-излучений [4-5]. Размеры Si де- текторов 2×2×0.3 мм3, 5×5×0.3 мм3. Размеры сцинтилляторов 2×2×10 мм3, 2×2×2.4 мм3, 5×5×10 мм3 (Рис. 1). НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия Математика. Физика. 2016. № 20 (241). Выпуск 44 ________________________________________________________________ 99 Si PIN б) CsI (Tl) - Si PIN в) Si PIN г) CsI (Tl) - Si PIN Рис. 1. Основные типы детектирующих модулей [1-3] Fig. 1. Main types of detection modules [1-3] После изготовления изделия тестируются по статическим характеристикам (токи утечки и емкость детектора в зависимости от напряжения обеднения) и по динамическим характеристикам (энергетическое разрешение детектора – полная ширина на полувысоте фотопика – FWHM). Ра- нее в [5,7] нами определены минимальные пороговые энергии, которые можно регистрировать такими детекторами и их предельное разрешение при комнатной температуре [7]. Для системы CsI (Tl) – Si минимальная энергия регистрации составила ~36 кэВ (ограниче- ния обусловлены шумами регистрирующей системы) при разрешении FWHM ~25 кэВ. Для Si де- тектора минимальная энергия регистрации ~3,5 кэВ, а разрешение составило 0.7–0.9 кэВ для раз- личных типов электроники [7]. Малый размер Si детекторов обуславливает трудности при регистрации квантов с высоки- ми энергиями (большое количество комптоновски рассеянных квантов и низкая эффективность фотопоглощения). Целью настоящей работы является определение верхнего энергетического предела реги- страции гамма-квантов детектирующими модулями двух типов. Использованы радиоактивные источники 241Am, 57Co, 137Cs, 133Ba, 22Na, 60Co с энергией в диапазоне 59.54 кэВ – 1332.5 кэВ. Изме- рялись и рассчитывались в GEANT 4 спектры выделенной энергии в детекторах малых размеров. Регистрация гамма-квантов с энергиями до 1,33 МЭВ системами CsI(Tl) – Si PIN фотодиод малых размеров Проведены измерения для детектирующей системы CsI(Tl) – Si PIN фотодиод с размером сцинтиллятора 2×2×2.4 мм3 (Рис. 2,3). Определено разрешение (FWHM) для линий излучения изотопов 241Am, 57Со, 137Cs, 22Na, 60Co с энергией в диапазоне 59.54 кэВ – 1332.5 кэВ. Данные экспериментально определенного энергетического разрешения FWHM детекти- рующей системы на основе сцинтиллятора CsI(Tl) размером 2×2×2.4 мм3 в зависимости от энер- гии регистрируемого излучения представлены в табл. 1. НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия Математика. Физика. 2016 № 20 (241). Выпуск 44 _________________________________________________________________ 100 CsI(Tl)-Si, 2×2×2.4 мм3 б) CsI(Tl)-Si, 5×5×10 мм3 Рис. 2. Экспериментальные спектры излучения источника 137Cs измеренные детектором CsI(Tl)-Si Fig. 2. Experimental spectra of a 137Cs source measured with a detector CsI(Tl)-Si Таблица 1 Table 1 Разрешение детектирующей системы на основе сцинтиллятора CsI(Tl) размером 2×2×2.4 мм3 Resolution of the detector system based scintillator CsI (Tl) measuring 2 × 2 × 2.4 mm3 Энергия, кэВ 59.54 122 511 662 1274.5 1332.5 FWHM ~22.8 ~26.4 ~52 ~58 ~71 ~86 а) 22Na б) 60Co Рис. 3. Экспериментальные спектры излучения источников 22Na, 60Co измеренные детектором CsI(Tl)-Si Fig. 3. Experimental emission spectra of the sources 22Na, 60Co measured with a detector CsI(Tl)-Si Типичные расчеты в GEAN4 выделенной энергии, например, для 60Co показаны на рис. 4. Рис. 4. Расчетные спектры выделенной энергии гамма-квантов от источника 60Co в детекторе CsI(Tl)-Si разме- ром 5×5×10 мм3 Fig. 4. The calculated spectra of deposited energy of gamma rays from 60Co source in the detector a CsI(Tl)-Si with a size of 5×5×10 mm3 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия Математика. Физика. 2016. № 20 (241). Выпуск 44 ________________________________________________________________ 101 Измерения показывают возможность определения энергии излучения с энергией вплоть до 1.5 МэВ. Однако разрешение системы CsI(Tl)-Si падает, и в случае сложного спектра гамма- излучения, состоящего из нескольких линий, разделить близлежащие линии становится сложно. Регистрация гамма-квантов с энергиями до 0.662 МэВ планарными Si детекторами Нижний предел измерений ~3.5 кэВ ограничен защитной Al фольгой и шумами электрони- ки системы ~1.5 кэВ. Для определения верхнего энергетического предела регистрации гамма- квантов планарным детектором использовались источники излучения 133Ba и 137Cs. Относительная интенсивность линий 133Ba составляет (энергия излучения в кэВ к интенсив- ности в процентах) Еγ/Iγ: 35/22.6; 53/2; 79.6/3; 81/34; 276/34; 276/7; 303/18; 356/62; 383/9. На Рис. 5,6 представлены экспериментальные спектры излучения линий 133Ba для Si детек- тора 5×5×0.3 мм3, измеренные при падении квантов под прямым углом (90°) к поверхности детек- тора и под нулевым углом (0°) к поверхности детектора. 90° б) 0° Рис. 5. Экспериментальные спектры излучения 133Ba измеренные Si детектором 5×5×0.3 мм3 Fig. 5. Experimental emission spectra of 133Ba are measured by the Si detector of 5×5×0.3 мм3 90° б) 0° Рис. 6. Экспериментальные спектры излучения 133Ba измеренные Si детектором 5×5×0.3 мм3 (высокоэнергети- ческая часть). Фитирование пиков проведено в ORIGIN 8 Fig. 6. Experimental emission spectra of 133Ba are measured by the Si detector of 5×5×0.3 mm3 (high-coemergency part). The tting of peaks is carried out in ORIGIN 8 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия Математика. Физика. 2016 № 20 (241). Выпуск 44 _________________________________________________________________ 102 Под углом 0° регистрируется в 2.5-3 раза больше высокоэнергетичных квантов. Расположе- ние детектора – «ласточкин хвост» (Рис. 1,в). Линии легко идентифицируются, определены ширины линий излучения (FWHM). Расчет в GEANT4 согласуется с экспериментом (рис. 7). Рис. 7. Расчетные спектры выделенной энергии источника 133Ba в Si детекторе 5×5×0.3 мм3 (высокоэнергетическая часть) Fig. 7. The calculated spectra of deposited energy of the 133Ba source in Si-detector 5×5×0.3 mm3 (high energy part) Данные экспериментально определенного энергетического разрешения FWHM детектиру- ющей системы на базе Si детектора размером 5×5×0.3 мм3 в зависимости от энергии регистрируемо- го излучения представлены в табл. 2. Таблица 2 Table 2 Разрешение детектирующей системы на базе Si детектора размером 5×5×0.3 мм3 The resolution of the detection system based on Si detector with a size of 5×5×0.3 mm3 Энергия, кэВ 59.54 53 81 276 303 356 383 662 FWHM ~1.3 ~1.62 ~1.67 ~1.58 ~1.78 ~1.94 ~2.03 ~3.6 На рис. 8–10 представлены экспериментальные и расчетный спектры излучения источника 137Cs, Eγ=662 кэВ, измеренные Si детектором 5×5×0.3 мм3, измеренные при падении квантов под прямым углом (90°) к поверхности детектора и под нулевым углом (0°) к поверхности детектора. а) Экспериментальный спектр б) Пик фотопоглощения Рис. 8. Экспериментальные спектры излучения источника 137Cs, измеренные Si детектором 5×5×0.3 мм3 при падении квантов под углом 0° к поверхности детектора Fig. 8. Experimental spectra of a 137Cs source measured with a Si detector 5×5×0.3 mm3 in the fall of quanta at an an- gle of 0° to the surface of the detector НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия Математика. Физика. 2016. № 20 (241). Выпуск 44 ________________________________________________________________ 103 а) Экспериментальный спектр б) Пик фотопоглощения Рис. 9. Экспериментальные спектры излучения источника 137Cs, измеренные Si детектором 5×5×0.3 мм3 при падении квантов под углом 90° к поверхности детектора Fig. 9. Experimental spectra of a 137Cs source measured with a Si detector 5×5×0.3 mm3 in the fall of quanta at an angle of 90° to the surface of the detector а) Расчетный спектр б) Пик фотопоглощения Рис. 10. Расчетный спектр излучения источника 137Cs в Si детекторе 5×5×0.3 мм3 при падении квантов под уг- лом 90° к поверхности детектора Fig. 10. The calculated spectrum of a 137Cs source in Si-detector 5×5×0.3 mm3 in the fall of quanta at an angle of 90° to the surface of the detector Зарегистрированных квантов в фотопике больше при падении квантов под нулевым углом (0°) к поверхности детектора. Линии идентифицируются, определена ширина фотопика FWHM ~3,6 кэВ. Требуются очень длительные экспозиции. Расчет в GEANT 4 подобен экспериментальным данным. Для получения фотопика в случае поглощения кванта с Eγ=662 кэВ необходимо поглотить электрон с энергией ~660 кэВ, средний пробег которого в кремнии около 1.5 мм. Траектория элек- трона должна лежать в плоскости детектора. Регистрация таких квантов является почти предель- ным случаем для тонкого планарного детектора. Выводы Таким образом, определены верхние энергетические пределы регистрации гамма-квантов детектирующими модулями малых размеров и двух типов. Использованы радиоактивные источни- ки 241Am, 57Co, 137Cs, 133Ba, 22Na, 60Co с энергией в диапазоне 59.54 кэВ – 1332.5 кэВ. НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия Математика. Физика. 2016 № 20 (241). Выпуск 44 _________________________________________________________________ 104 Экспериментально определенное разрешение детектирующей системы на основе сцинтил- лятора CsI(Tl) размером 2×2×2.4 мм3 составило: для энергии 59.54 кэВ – FWHM ~22,8 кэВ, для энергии 122 кэВ – FWHM ~26.4 кэВ, для энергии 511 кэВ – FWHM ~52 кэВ, для энергии 662 кэВ – FWHM ~58 кэВ, для энергии 1274.5 кэВ – FWHM ~71 кэВ, для энергии 1332.5 кэВ – FWHM ~86 кэВ. Спектры излучения для Si планарного детектора 5×5×0.3 мм3, несмотря на чрезвычайно малую эф- фективность регистрации, содержат пики полного поглощения для энергий квантов до 662 кэВ. Экспериментально определенное разрешение детектирующей системы Si детектором 5×5×0.3 мм3 составило: для энергии 59.54 кэВ – FWHM ~1.3 кэВ, для энергии 53 кэВ – FWHM ~1.62 кэВ, для энергии 81 кэВ – FWHM ~1.67 кэВ, для энергии 276 кэВ – FWHM ~1.58 кэВ, для энергии 303 кэВ – FWHM ~1.78 кэВ, для энергии 356 кэВ – FWHM ~1.94 кэВ, для энергии 383 кэВ – FWHM ~2.03 кэВ, для энергии 662 кэВ – 3.6 кэВ. Список литературы 1. Vasilyev G.P. , Voloshin V.K. , Kiprich S.K. et al. 2010. Encapsulated modules of silicon detectors of ionizing radiation. Problems of atomic science and technology, № 3, Series: Nuclear Physics Investigations (54): 200- 204. 2. Maslov N.I. 2013. Physical and technological aspects of creation and applications of silicon planar detectors. Problems of atomic science and technology, № 2, Series: Nuclear Physic Investigations (84): 165-171. 3. Kulibaba V.I. , Maslov N.I. , Naumov S.V. , Ovchinnik V.D. , Prokhorets I.M. 2001. Readout electronics for multichannel detectors. Problems of Atomic Science and Technology. Ser.:NPI. 5(39): 177-179. 4. Bochek G.L. , Deiev O.S. , Maslov N.I. , Voloshyn V.K. 2011. X-ray lines relative intensity depending on detector efficiency, foils and cases thickness for primary and scattered spectra. Problems of atomic science and technology, № 3, Series: Nuclear Physic Investigations (55): 42-49. 5. Vasiliev G.P. , Voloshyn V.K. , Deiev O.S. et al. 2014. Measurement of Radiation Energy by Spectrometric Systems Based on Uncooled Silicon Detectors. Journal of Surface Investigation. X ray. Synchrotron and Neutron Tech- niques. 2(8): 391–397. 6. Vasiliev G.P. , Voloshyn V.K., Deiev O.S. et al. 2012. Radiation dose determination by dual channel spec- trometr in energy range 0.005…1 MeV. Problems of atomic science and technology, 4 (80). Series: Nuclear Physic In- vestigations (59): 205-209. 7. Деев А.С. , Мазилов А.А. , Наумов С.В. , Шулика М.Ю. 2015. Энергетическое разрешение спектро- метра на основе неохлаждаемого Si планарного детектора и предварительного усилителя с емкостной и рези- стивно-емкостной обратной связью. Belgorod State University Scientific Bulletin, Mathematics & Physics, 23 (220), вып. 41: 62-70. Deiev O.S. , Mazilov A.A. , Naumov S.V. , Shulika M.Yu. 2015. Energy resolution of the spectrometer based on uncooled planar Si detector and pre-amplifier with capacitive and resistive-capacitive feedback. Belgorod State Uni- versity Scientific Bulletin, Mathematics & Physics, 23 (220), issue 41: 62-70.